银河国际最新网址(I)若U是点x的邻域

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文章关键词:银河国际网址手机版,拓扑极限

  【摘要】本文通过泛函分析中的实例,建立拓扑的概念,能比较直观地加深对拓扑的实质及极限的理解。

  点集拓扑学多数都是一开始就用满足一定条件的开集族定义拓扑,然后展开拓扑学的各部分内容。这样作,初学者不易抓住拓扑的实质。木文通过泛函分析中的实例,建立拓扑的概念,比较直观地加深拓扑的实质及极限的理解。2拓扑概念的建立初等的泛函分析一般是把讨论限制在线性赋范空间。在那里,首先在度量空间建立利用距离描逮极限的理论,并引进与极限有关的领域、开集、银河国际最新网址闭集、紧集等概念。虽然按距离收敛统一了实数列的收敛,函数列的一致收敛等各种收敛,但这样作在某些场合还是不够的。例1设X是一集,R(X)表示X上实函数全体,{fr}二R(X),fR(X)。如果11色f。(X)二f(X),劫x义,nes刁卜CC则称实函数列褚f。}在X上处处收敛于f,记为fn、f。当X是有限集,或可列集时,这种极限概念可纳入度量空间中的收敛。事实上,若取X=于x。/n=1.2,,…则当f,gR(X)时,可规定p(f,g)OC=En=}f(x。)一g(x、)}22nl+If(x)一g(x)J这样,(R(x),p)是一度量空间,并且fn,f(n、戈中办p(x。x,)~0(n,沉)。但当X不是可数集时,无法定义R(X)中的距离p(f,g),使得fn,f(n,戈)中峥P(X、银河国际最新网址,x),0(n~oc)(严格的证明见参考文献1])因此需沿别的途径来建立比度量空间中的收敛更一般的极限理论。例2设X是线性赋范空间,{x。}UX弱收敛于x。X,即指对每一fX气f(X,)”f(X。)。这种收敛一般不能用距离来定义。现分析这种收敛如下:点列考xnl任X弱收敛于x。X是指:对每一个“。,及每个fX.,存。tN=N(,f),使当n)N时,!f(x:)一f(x。){时,1(i《pIf;(x。)一f;(x。{(8,i=1,2,…p。(1)如果令U(x。,f,,f:,……f。,‘)={x/xX,{f(x。)一f二(x。)lN时,x。U(x。;f,f:,……f:;c)可见,点列{x:}弱收敛于x。,实质是指,只要N充分大,x就钻进x。的某领域中。所以(2)中定义的集U(x。;f;,f:,……,fp;e)应该表示x。的一个领域。抽象地说,如果规定了x。的一族领域,那么点列{x。}弱收敛于x。,应当是指标号n充分大的点x。,必落在x。的任意领域内。也可说成,对x。的每个领域V,必有标号N,使得当nN时,x。V。对于线性赋范空间X中的点列{x。}弱收敛于x。X来说,当Co取遍一切正数,而f:,f:,……,fp取遍x.中任何有限多个元时,(2)式规定的集U(x。;f,f:,……f。;e)就是一族这样的领域。正因为一点的领域是指离这点“充分近”的点的集,那么直观地说,领域应有下列诸属性:(I)每一点在它自己的每一邻域中;(I)若U是点x的邻域,则包含U的每个集V,也必是x的邻域;(l)若U,V都是X的邻域,则UnV也必是x的邻域;(W)若V是x的邻域,则V也必是离x充分近的点y的邻域。确切地说,若V是x的邻域,x必有一个邻域W,使V也是W中每点Y的邻域。如果记U二={U(x)/xX}为x的所有邻域构成的集,则上述集族的属性是:(a)对每个U(x)U:,有xU(x);(b)对每个U(x)U:,若VOU(x),则VU;(e)若U,VU:,则UnVU;(d)若VU,则有WU,使当yW时,V任U;定义l’设X是一非空集,对每个xX,记U={U二(劝/xX}为与x相应的X的子集所成的非空集族,如果满足(a)一(d),则称U、是x的邻域系。定义2’一设X为一非空集合,对每一xX,U是与x相应的邻域系,记T二{U二/xX卜,为x的邻域系的类,则称(X,

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