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  第六讲 极限、连续性和拓扑学 梁治安 数学学院 上海财经大学 内容提要 一、无理数 二、极限 三、连续性 四、拓扑学 ---无理数的产生方法 ---数列极限和函数极限 ---函数连续定义及拓扑学的产生 ---拓扑学定义及拓扑性质的应用 ? 实数 1、十进位制 “如果没有这种十进位制,就不可能 出现我们现在这个统一化的世界了。” -----李约瑟 李约瑟(1900年12月-1995年3月) 优点:几何直观 问题:如何定义 四则运算? 2、Dedekind Cut 定义 称有理数集的子集S为Dedekind切割, 当 且仅当S满足: S ? ?, S ? Q, 而且a ? S , b ? Q, b ? a ? b ? S. Case1、S中存在最大数 Case2、 Q\S中存在最小数 Case3、S代表一个无理数,记作( ) 问题:如何定义四则运算? ? () + (): = ( + ) 其中: ∈ (), ∈ () ? : = ? 缺点: 依赖于“顺序”! 3. Cauchy 基本列 定义1 称(an )为Cauchy基本列当且仅当 定义2 零(null)序列:收敛于0的有理数列。 定义2 R?F/N 其中 F 是所有Cauchy列, N 再次体现 了代数系 是所有的零序列。统“求商” 得新的代 数系统!” 问题:如何定义四则运算? 优点:任何度量空间都可以完备化。 二、极限 1. ? -?语言 2. 函数列的极限 同:点点收敛于零 异:函数列收敛于零?? 此时称函数列一致收敛。银河国际最新网址 一致收敛的优点: 三、连续 1. 函数极限(点列极限的推广) 2. 连续函数 I 注记: 例如:Riemann函数 p ?1 ? , 当x ? ? (0,1), q R( x ) ? ? q ?0, 当x ? 0,1, 和(0,1) ? 2. 连续函数 II ? 开集 ? 连续的“拓扑”定义 ? 连续的“拓扑”性质 四、拓扑学 1. 拓扑结构的定义 设X 是一个非空集合。 X 的一个子集族Τ中的元素称为“开集”, 如果Τ满足下面的条件: (1) 对任意并是封闭的; (2) 对有限交是封闭的; (3) X , ? ? Τ, 则称Τ是X 上的一个拓扑,(X ,Τ)称为拓扑空间。 注记: 拓扑学研究拓扑空间以及拓扑空间之间的连续映射。 2. 拓扑性质之连通性 3.拓扑等价 拓扑:橡皮几何学 4、拓扑性质的应用 ? 代数基本定理的证明 ? 拓扑学在建筑形态中的应用 ? 莫比乌斯环在建筑形态中的应用 莫比乌斯环 ? 克莱因瓶在建筑形态中的应用 克莱因瓶 克莱因别墅 温莎斜屋 ? 拓扑学在经济学中的应用

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